SOMMAIRE

 

A. Le calcul

 1.  Essais de Définition du mot Calcul

  2. Quelques Règles de calcul dans N

                   • Transformations d'écritures

                   • Quelques algorithmes simples

                   • Les 12 manières de calculer la somme de 3 nombres entiers

  3. 32 Représentations désignations codages - écritures d'un nombre entier

 

B. Du matériel d'aide aux calculs

         • Les baguettes chinoises               

         • La droite numérique

                            - Graduée

                            - Non graduée

         • Les réglettes de NEPER

         • La calculatrice

                            - Type a

                            - Type b

                            - Type Galaxy 9 ou 10

         • Le disque à calcul

         • La règle à calcul

         • Le matériel multibase

         • Les abaques

                            - tiges

                            - trous

                            - apices

         • Les bouliers

                            - Français

                            - Chinois

                            - Japonais

         • Le matériel de Picbille

                            - Billes

                            - Boîtes

                            - Valises

         • Les répertoires

         • Les dés

         • Les cartes

C. Divers types de calcul

Définitions :

       1.  Le Calcul automatique

         2.  Le Calcul réfléchi

         3.  Le calcul pensé

                            • Cinq procédures de calcul pensé pour l'addition

         4. Le calcul mental

                            a. Définitions

                            b.  Pourquoi du calcul mental?

                            c.  Quelques mots sur la pédagogie du calcul mental

                            d. Quelques conseils pour favoriser la mémorisation

                            e.  Les visuels et les auditifs

                            f. Calcul mental, calcul rapide, calcul rapide appliqué de J.CORUBLE, ...

 

D. Des exercices de calcul mental d'après les manuels scolaires

       i. Pour le CE2

         ii.  Pour le CM1

         ii.  Pour le CM2

 

E. Mathix et les 20 exercices.

 

F. Ce que disent les I.O.

       i.  Les I.O. de 1977                                                                                                      

         ii. Les I.O. de 1985                                                                                                      

         iii. Les I.O. de 1995                                                                                                     

 

G. Bibliographie.

 

 

 

H. Annexes:

 

         1:  Tricotez des nombres                                             9: Calculs divers (suite)

         2: L'algorithme de Kaprerar                                        10: La grande table de multiplication

         3:Les anomalies de lecture                                           11: Génération des tables de multiplication

         4: Le serpent des nombres                                           12: Règle pour additionner

         5: Les diviseurs d'un nombre                                       13: Les dominos additifs

         6: Calculs divers                                                          14: La grille des nombres croisés

         7: Les bandes numérotées                                            15: Jeux numériques

         8: Étude de la table de multiplication                          16: Jeux divers

 

A.Le Calcul

Le mot Calcul (vient du mot d'origine latine calculus: caillou)

 

 

 0. Les mathématiciens distinguent:

  • Le calcul numérique                           • le calcul infinitésimal                      • le calcul des probabilités

  • le calcul matriciel                             • le calcul symbolique                        • le calcul logarithmique

  • le calcul vectoriel                              • le calcul différentiel                       • le calcul booléen

  • le calcul intégral                               • le calcul propositionnel                    • le calcul statistique                                         

  • le calcul scientifique                         • le calcul analytique                          • le calcul trigonométrique

  • le calcul littéral                                • le calcul ensembliste                       • le calcul algébrique

  • le calcul  binaire                                • le calcul des dérivées                      • ...

 

  1. Quelques définitions:

 

I. Le mot Calcul s'emploie pour désigner :

                      •Toute manipulation des règles opératoires (abstraites ou non)

                      • La démonstration de formules

                      • Les applications numériques de résultats théoriques.

Les règles de calcul, dans une théorie, sont les théorèmes qui permettent de calculer .

                                             Dictionnaire des mathématiques A. BOUVIER PUF

 

II. Le calcul se définit par opposition au comptage. Calculer, c'est mettre en relation des quantités directement à partir de leurs représentations numériques, sans passer par la réalisation physique d'une ou plusieurs collections dont les éléments seraient dénombrés.

                      Comment les enfants apprennent à calculer ( page 69)  R. BRISSIAUD RETZ

 

III. Il y a calcul numérique lorsqu'il y a des transformations à effectuer sur des expressions numériques .

                                             A propos du calcul JL SIGRIST

 

 

 

 


Les 12 manières de calculer la somme de trois nombres entiers

 

 

Passage d'une écriture à une autre

 

3.         32 représentations - désignations-écritures d'un nombre entier

B.Du matériel d'aide aux calculs

 

AppleMark

AppleMark


C. A propos des divers types de calcul

 

O. Les livres, savants , scolaires et autres distinguent :

      • le calcul                                  • le calcul concret                        • le calcul oral

        • le calcul pensé                        • le calcul pensé écrit                   • le calcul pensé oral

        • le calcul mental                      • le calcul posé                             • le calcul écrit

        • le calcul réfléchi                    • le calcul rapide                          • le calcul sur ou avec les doigts

        • le calcul automatique              • le calcul systématique                • le calcul de tête    

        • le calcul exact                        • le calcul approché                      • ...

1. Le Calcul Automatique :

J'applique un algorithme mémorisé.

 (Ce qui signifie que l'on utilise un certain nombre de règles dans un certain ordre)

 

2. Le Calcul réfléchi:

Je cherche un algorithme.

Nous parlons de calcul réfléchi, chaque fois que l'élève ne dispose (ou n'utilise) pas une méthode standard     ( un algorithme mémorisé) pour effectuer des calculs.

Pour calculer , il faut disposer d'un répertoire et d'un ensemble de règles élémentaires.

Appliquer un algorithme suppose que l'on met en oeuvre un certain nombre de règles dans un certain ordre .

 

3.  Le Calcul pensé :

Comptage et calcul (Brissiaud pages 66, 80 et 82)

Pour déterminer une somme par un procédé de comptage, les enfants représentent chaque quantité par une collection témoin d'objets avant de recompter l'ensemble des objets. En revanche, l'enfant qui calcule dira directement : neuf et un dix et trois ça fait treize.

 Cette dernière forme de calcul sera appelé calcul pensé ... Le calcul pensé est un mode de calcul sans écriture, exclusivement orale le mot pensé s'oppose à systématique...Un calcul pensé n'est pas nécessairement un calcul mental, mais rien n'interdit d'utiliser l'écriture pour mener à bien un calcul pensé !!!

 

        •Cinq procédures de calcul pensé pour l'addition

      1. Procédé basé sur l'usage des doubles

            6+7 --> 6+(6+1) --> 12+1 --> 13

        2. Procédé basé sur le retour au 5

            8+6 --> (5+3)+(5+1) --> 10+4 --> 14

        3. Procédé basé sur le passage de la dizaine ( ou de la vingtaine...)

            9+4 --> (9+1)+3 --> 10+3 --> 13

        4. Procédé basé sur le retour à la dizaine

            12+6 --> (10+2) +6 --> 10+8 --> 18

        5. Procédé basé sur le passage du cinq

             4+3 --> (4+1)+2 --> 5+2 --> 7

 

4. Le calcul mental :

      a. Définitions ? :

           1.  Le calcul mental est l'art de faire des opérations sans aide concrète

                                                      R. TATON Q.J.S. n° 198 pages 89

          2.  ...

 

          b.  PPourquoi du calcul mental ?

 

Calcul mental, calcul royal disait le philosophe ALAIN. Pourquoi ?

Les raisons en sont multiples ; en voici quelques-unes :

  - le calcul mental oblige l'enfant à faire travailler simultanément sa mémoire et sont attention.

Il nécessite des qualités d'ordre de précision, du sang froid, une concentration mentale, de la rapidité ce qui n'exclut pas une certaine prudence.

  - il développe l'intelligence car il suppose: une analyse des nombres, le choix d'une méthode de résolution, parfois une capacité à se représenter les quantités sur lesquelles il faut opérer.

  - il arme les élèves pour la vie active et professionnelle !!! (plutôt faux de nos jours)

 

        c. Quelques mots sur la pédagogie du calcul mental

 

  - le calcul mental doit être pratiqué régulièrement (quotidiennement). Par exemple avant toute leçon de mathématique, mais aussi à d'autres moments et parfois dans d'autres disciplines.

  - il s'agit de mettre en oeuvre des procédures éducatives qui permettront une participation  effective de tous les élèves.

  - le temps imparti à cette activité doit être bref mais l'activité intense.

  - il ne faut pas se contenter de mener des séquences improvisées, un entraînement méthodique et progressif est souhaitable .

  - présenté sous forme de jeu, parfois de compétition il entraîne une émulation favorable.

  - le calcul mental n'est que très rarement calqué sur le calcul écrit.

  - la valeur éducative des exercices réside aussi dans la manière de conduire le calcul et pas  uniquement dans la vitesse de résolution.

  - les enfants doivent pouvoir rendre compte des démarches utilisées pour leurs calculs.

  - lorsque l'on introduit un nouveau procédé de calcul mental, il convient d'analyser le procédé avec  les élèves, mais il faut par la suite dépasser ce stade des opérations conscientes.

  (Grâce à l'entraînement).

  - on peut présenter aux élèves: des dictées de nombres, des opérations à effectuer, de petits problèmes à résoudre.

  - bien que favorisant l'émulation il ne faut pas abuser des procédures introduisant une compétition individuelle ou par équipe.

  - se souvenir que certains élèves sont plus visuels qu'auditifs   et ne calculent  bien qu'en voyant les  nombres écrits.

  - a propos des techniques pédagogiques citons:

          a. le procédé LA MARTINIERE  

          (Fort ancien mais qui a fait ses preuves et qui est encore fort employé dans nos écoles).

Chaque élève dispose d'une ardoise, d'une craie et d'un chiffon.

Le maître pose une question. Au premier signal, chaque élève doit inscrire le résultat qu'il a trouvé mentalement. Les ardoises sont brandies vers le maître, qui, en quelques instants peut lire toutes les réponses, féliciter ceux qui ont trouvé le résultat exact, faire expliquer la ou les procédures utilisées, questionner ceux qui se sont trompés...

          b. les jeux: le compte est bon, jeux avec dés et cartes, lotos divers .....

          c. ..

.

          d. Quelques conseils pour faciliter la mémorisation :

       1. Répéter, mais en faisant intervenir des formes variées

          2. On mémorise mieux :

                   - ce que l'on a compris

                   - ce qui a du sens

                   - ce qui a un intérêt pour soi

          3.  On mémorise mieux des connaissances structurées

          e. Les visuels et les auditifs

 

                            

          LA PEDAGOGIE DU CALCUL MENTAL

 

A. D'après Calcul mental, calcul rapide de J.CORUBLE, ... C.L.R. Hachette

 

Chaque séquence proposée est généralement découpée en 3 parties.

 

1. Calcul mental

Cette partie est destinée à être dictée par le maître, les élèves n'ayant sous les yeux que la feuille sur laquelle ils inscrivent les résultats. La dictée effectuée, le maître pourra, soit procéder à une correction orale collective, soit laisser les enfants réaliser une autocorrection en leur demandant d'ouvrir leur manuel.

2. Calcul rapide

Les élèves ayant sous les yeux une opération écrite doivent en calculer mentalement le résultat et inscrire celui-ci sur une feuille. On pourra décider d'un temps limite afin d'éviter, par exemple, que des enfants ne comptent sur leurs doigts .

3. Calcul rapide appliqué

Il s'agit de placer le calcul rapide<< en situation>>. Un énoncé simple, dicté par le maître ou lu par l'enfant, une opération à choisir, un calcul à effectuer mentalement, un seul résultat à inscrire.

 

G. Bibliographie

 

  1.  Histoire du calcul q.j.s. nº 198                                                     R. TATON                       PUF

 

  2 . Apprentissages numériques au CE1                                              ERMEL

 

  3 . Le calcul mental au cycle des apprentissages fondamentaux        C. LETHEILLEUX            A. COLIN

 

  4 . Le calcul mental      Q.S.J nº 605                                               R. TATON                       PUF

 

  5. Grand N nº 47 (1990/1991)                                                         IREM                              GRENOBLE

 

  6. Calcul mental, calcul rapide                                                          CRDP NICE

 

  7 . Le jeu du calcul mental à partir de 7 ans                                     M. SHUWARGER             OCDL

 

8 . Calcul mental                                                                                Y. DEVERRE                     HATIER

 

9 . Le calcul mental à l'école élémentaire                                           CRDP CAEN

 

10. Le calcul mental c'est simple en s'amusant                                   D. GRANDPIERRE            RETZ

 

11. Apprentissages numériques CP                                                      ERMEL                            HATIER

 

12. Le calcul mental, calcul rapide CE2 - CM                                       C.L.R.                               HACHETTE

 

13 . Jeux de calcul du CP au CM2                                                       F. BOULE                        A. COLIN

 

14 . Apprentissages numériques au CE2                                              ERMEL

 

 

 

 

 

ANNEXE Nº 1                 Tricotez des nombres

 

Prenons comme semence le nombre 11                                                         

La somme des chiffres du nombre 11 est égale à 2 (modulo 10)         : 112

La somme des chiffres du nombre 12 est égale à 3 (modulo 10)         : 1123

La somme des chiffres du nombre 23 est égale à  5 (modulo 10)       : 11235

La somme des chiffres du nombre 35 est égale à  8 (modulo 10)       : 112358

La somme des chiffres du nombre 58 est égale à  4 (modulo 10)       : 1123584

La somme des chiffres du nombre 84 est égale à  3 (modulo 10)       : 11235843

... Continuez la suite...

 

Vous reprendrez l'exercice à partir d'une autre semence

Les mêmes chiffres vont revenir...

Combien y a-t-il de 0, de 1, de 2 ...?

 

Prenons comme semence le nombre 05                                                       

 

0550550... Période 3

 

Prenons comme semence le nombre 20

 

2022460663933696639....
ANNEXE Nº 2                 L'algorithme de Kraperar

 

A. Choisissez un nombre entier n

B.    . Si n est pair on divise  n par 2

        . Si n est impair, on multiplie  n par 3 et on ajoute 1

On réapplique la règle au nombre obtenu...

 

Par exemple:

20 --> 10 --> 5 --> 16 --> 8 --> 4 --> 2 --> 1  (on boucle sur 4, 2 ,1)

 

Essayez avec d'autres nombres

 

 

ANNEXE Nº 3                 Les anomalies de lecture

ANNEXE Nº 4          Le serpent des nombres

 

 

ANNEXE Nº 5                 Les diviseurs d'un nombre

Trouvez tous les diviseurs d'un nombre

 

ANNEXE Nº 6                 Calculs divers

 

1. Multipliez le nombre 12345679 par des multiples de 9 inférieurs à 90

Observez.  Curieux !

2. Choisir un nombre a entre 1 et 9. puis multipliez a par 15873 puis le résultat par 7.

Observez.

3. Choisir un nombre à 3 chiffres ( xyz).

Le recopiez pour obtenir un nombre à 6 chiffres (xyzxyz).

Divisez ce nombre à 6 chiffres par 7, le quotient par 11, le nouveau quotient par 13.

Observez.

3. Choisir un nombre à 3 chiffres ( xyz).

Le recopiez pour obtenir un nombre à 6 chiffres (xyzxyz).

Divisez ce nombre à 6 chiffres par 7, le quotient par 11, le nouveau quotient par 13.

Observez.

4. Choisir un nombre à 2 chiffres ( xy).

Le recopiez pour obtenir un nombre à 6 chiffres (xyxyxy.)

Divisez ce nombre à 6 chiffres par 37, le quotient par 13, le nouveau quotient par 21.

Observer

 

5. Les produits 46 X 96 et 64 X 69 sont-ils égaux ?

Trouvez d'autres couples de nombres à deux chiffres vérifiant cette curieuse propriété.

ANNEXE Nº 7          Calculs divers (suite)

6. Voici un morceau de la table étendue . Complétez sans effectuer les produits correspondants.

 

 

 

7. Choisir 4 nombres entiers consécutifs. a, b, c, d. Comparer les produits ad et bc.

 

8. Observez l'ensemble des multiples de 93.

 

9. Que pensez-vous des multiples de 142857 ?

 

10. Remarquons que

        23 X  9  =  207

        78 X  9  =  702

 On dit que 23 est l'associé de 78. Trouvez les associés des entiers inférieurs à 50.

 

B. Produits curieux:

        -  41115 X 3 =

        -  3  X  7  X  11  X  13  X  37  =

        -  21649  X  513239  =

        -  1507  X  7373  =

        -  273  X  407  =

        -  153846  X  4  =

        -  21978  X  4  =

        -  142857143  X  7  =

 

ANNEXE Nº 8                 Les bandes numérotées

 

ANNEXE Nº 9          Étude de la table de multiplication (simple ou étendue)

 

1. Quels nombres entiers figurent dans la table de multiplication (0 à 10)

        -  Combien d'occurrences de chacun de ces nombres ?

        -  Combien de nombres différents ?

 

  2. Extraire de la table des carrés (2 X 2).

       Existe-t-il une relation simple entre ces 4 nombres ?

 

  3. Extraire des rectangles (4 X 1 ) .

       Existe -t-il une relation simple entre ces quatre nombres ?

 

  4. Faire la somme des nombres figurant :

        - Dans chaque ligne

        - Dans chaque colonne

5. Voici des extraits de la table de multiplication étendue .

    Complètez-les


 ANNEXE Nº 10        Une grande table de multiplication

 

ANNEXE Nº 11

Génération des tables de multiplication à partir de deux d'entre elles

 

 

ANNEXE Nº 12                Une règle pour additionner et soustraire

 

ANNEXE Nº 13                Les dominos additifs

 

ANNEXE Nº 14                       Grilles de Nombres croisés

 

1. 31 X 9                                                            

2. 5216 + 1611                                                   

3. 1457 X 2                                                        

4. 19034 X 5                                                      

5. 7 X 3                                                             

6. 528 + 187                                                      

7. 968 398 X 7                                                  

8. 1293 X 30                                                      

9. 323140 + 323141                                           

10. 2371 X 2

11. 1 321 841 X 4

12. 7 X 6

13. 4321 + 322

14. 39 X 5

15. 72 : 2

16. 81 - 39

17. 9206 X 4

18.  9 X 8

19. 1 805 543 X 3

20. 21315 + 63222

 

        Décomposez les nombres ci-dessous en produit de facteurs premiers et disposez ces facteurs aux emplacements prévus. Bonne chance.

A.  9

B.  70

C.  66

D.  28

E.  260

F.  42

G. 165

H. 16  I.  78

ANNEXE Nº 15                       Jeux numériques

Jeu 1 : Continuez la double suite logique ci-dessous

Jeu 2 : Le coucou de Pierre sone 1 fois à 1h, 2 fois à 2h, ...

Combien de fois sonne-t-il dans une journée?

 

Jeu 3 : Ecrire un nombre à deux chiffres dans chaque case. Le chiffre des unités du nombre précédent devient le chiffre des dizaines du nombre suivant.

On n'utilise que deux fois le même chiffre.

 

Jeu 4 : Continuez la suite ci-dessous. Chaque nombre est la somme des trois nombres précédents

Jeu 5 : Ecrire dans les cases les nombres : 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63 et 64.

Dans deux cases qui se touchent par un côté il ne doit pas y avoir deux fois le même chiffres.

 

ANNEXE Nº 16                              Jeux divers

I. Les 5 copains.

Essayer de former tous les nombres entiers de 1 à 100 en utilisant les 4 opérations et les nombres-amis suivants :

                                                      9  -  3  -  3  -  1  -  4

                   Par exemples : 5 = 4 + 1 ; 15 = 3 x (4 + 1 ) ;  11 = 9 + 3 - 1 ; ...

II. La devinette.

 Pierre pose la devinette suivante à Claire :

- Quel est le nombre (compris entre 0 et 9 ) qui possède autant de lettres que mon nom ?

                   Peux-tu aider Claire à trouver le nombre?

III. Deux amis.

Trouves 2 nombres dont la somme est 69 et la différence est 21.

 

IV. Le calcul effacé.

La tache d'encre a caché trois fois le même chiffre. Lequel ?

                  8  .

                    X    .

                   5  1  .

V. Les deux cousins.

Nous sommes deux nombres.

                   - Notre somme est 25

                   -  Notre différence est 1

                             Qui sommes-nous ?

VI.  L'inconnu.

- Je suis formé de 2 chiffres

- La somme de mes chiffres est 12

- Le produit de mes chiffres est 14

                             Qui suis-je ?

VII. Les trois suivants.

Nous sommes trois nombres consécutifs.

- Notre somme est 48

                             Qui sommes-nous ?

VIII. Le car Guebwiller -Colmar.

Un certain nombre de personnes montent dans le car à Guebwiller.

A Bollwiller, 10 personnes montent dans le car.

A  Rouffach 13 personnes montent et 5 descendent.

A Colmar Terminus de la ligne les 40 passagers quittent le bus (tout le monde descend).

                   Combien de personnes sont montées à Guebwiller ?